Números inconmensurables: aproximaciones y errores

Los números irracionales, lo mismo que los periódicos, tienen infinitas cifras decimales. Pero hay otra importante característica que los diferencia de los racionales: los números irracionales son inconmensurables. Es decir no se pueden obtener como el cociente o proporción entre dos números enteros.

Una de las demostraciones más conocidas y elegantes de las Matemáticas es la que demuestra la inconmensurabilidad de $\sqrt{2}$.

En la siguiente aplicación puedes comprobarla comparando el valor exacto de $\sqrt{2}$ con fracciones que se les aproximan.

Estudiaremos los errores absolutos y relativos que se comenten con algunas de esas aproximaciones.

Usa la aplicación y responde:

  1. Teniendo en cuenta que el lado del cuadrado (AB) mide 1, justifica razonadamente la medida de la diagonal (AC) y de los segmentos AR, AQ y AP.

  2. Pulsa el botón acerca para comprobar cómo la fracción $\frac {7}{5}$ es una aproximación pero no coincide con el valor de $\sqrt{2}$. Comprueba que los errores absoluto y relativo están bien calculados y explica cómo se calculan esos errores.

  3. Manipula los controles de la aplicación hasta encontrar la fracción de denominador menor que 20 cuyo valor se acerca más al de $\sqrt{2}$. Comprueba que los correspondientes errores absolutos y relativos están bien calculados y explica cómo se calculan esos errores.

  4. ¿Habrá alguna fracción de denominador menor que 100 que coincida con el valor exacto de $\sqrt{2}$? ¿Por qué? ¿Y con fracciones de denominador menor que 10000?

 

  Gracias a la idea de Sebastián Tirapu