Fracciones egipcias (2)

Si hubiese que repartir 5 tortas entre 6 personas de modo que todos recibiesen exactamente lo mismo, ¿qué te parece preferible, repartir 5 sextos de torta a cada uno o bien media torta más un tercio?

trozos

En el antiguo Egipto parecían tener claro que la segunda opción era bastante mejor.c

Los matemáticos de aquella civilización desarrollaron un sistema numérico que incluía a las fracciones. Pero no al estilo actual: ellos usaban sólo fracciones unitarias (de numerador 1) y sumas de fracciones unitarias distintas entre sí.

Así, no manejaban fracciones como $\displaystyle \frac{5}{6}$ sino que utilizaban la suma  $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ .

En esta actividad se trata de explorar la dificultad para representar cualquier fracción propia (menor que la unidad) como lo hacían los antiguos egipcios, es decir descomponerla en suma de fracciones unitarias.

Usa la aplicación y responde:

  1. Observa la representación gráfica de la fracción $\displaystyle  \frac{5}{6}$. Mueve el deslizador de la parte inferior de la aplicación para descomponerla en dos fracciones unitarias. Explica los cambios que observes en la representación gráfica.

  2. Vamos a intentar expresar fracciones de denominador 16 como fracciones egipcias. Para ello, primero pon de nuevo a 0 el deslizador de abajo, luego pon en 16 el deslizador correspondiente al denominador y finalmente cambia los valores del numerador para visualizar las fracciones $\displaystyle  \frac{1}{16}, \frac{2}{16}, \frac{3}{16}, \frac{4}{16}, \frac{5}{16}, \frac{6}{16}, \frac{7}{16}, \frac{8}{16}, \frac{9}{16}, \frac{10}{16}, \frac{11}{16}, \frac{12}{16}, \frac{13}{16}, \frac{14}{16}$ y $\displaystyle \frac{15}{16} $. ¿Cuáles de ellas se pueden expresar como una fracción unitaria y cuáles como suma de dos o de tres fracciones unitarias? (Utiliza el deslizador inferior para controlar el número de fracciones unitarias y las correspondientes casillas para visualizar y comprobar tus respuestas).

  3. Ayúdate de la aplicación para encontrar el único conjunto de 3 fracciones unitarias con una suma de $\displaystyle  \frac{5}{6}$.

  4. Encuentra las tres maneras diferentes de obtener $\displaystyle  \frac{5}{7}$ como suma de tres fracciones unitarias.

  5. Si no aciertas a encontrar la solución, puedes utilizar una de las estrategias más conocidas. Se trata de lo siguiente:

    Supongamos que queremos descomponer $\displaystyle  \frac{11}{16}$

    • Primero nos fijamos en el denominador y sus divisores: {1, 2, 4, 8, 16}

    • Luego pensamos en cómo obtener el numerador como suma de algunos de los divisores anteriores: 11 = 8 + 2 +1.

    • Entonces podremos descomponer la fracción del modo siguiente: $\displaystyle  \frac { 11 }{ 16 } =\frac { 8 }{ 16 } +\frac { 2 }{ 16 } +\frac { 1 }{ 16 } =\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 8 } +\frac { 1 }{ 16 } $

    • En el caso de que este método no sirva de inicio (como en el caso de $\displaystyle  \frac{5}{7}$ ), podemos tomar una fracción equivalente (como, por ejemplo, $\displaystyle  \frac{10}{14}$)

  6. Aplica el método anterior (activando las casillas de Ayuda) para escribir como fracciones egipcias las siguientes: $\displaystyle \frac{23}{40}, \frac{22}{75}$ y $\displaystyle  \frac{34}{123}$

  7. Comprueba cómo la suma $\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{12}$ da otra fracción egipcia. Investiga qué fracciones unitarias se pueden descomponer como suma de otras dos fracciones unitarias.

  8. Intenta encontrar alguna fracción que no pueda descomponerse como suma de cuatro o menos fracciones unitarias.