Propiedades de media y mediana

La media aritmética y la mediana son dos de los parámetros de posición más utilizados para representar una colección de datos numéricos. La media aritmética o promedio representa el reparto equitativo, el equilibrio, la equidad. Es el valor que tendrían los datos, si todos ellos fueran iguales. O, dicho de otro modo, el valor que correspondería a cada uno de los datos de la colección si su suma total se repartiera por igual. La mediana por su parte es el dato central: si se ordenan todos los datos, de menor a mayor, la mediana es el valor que ocupa la posición central, es decir, el que deja el mismo número de datos por encima como por debajo. Si el número de datos es par, la mediana es la media aritmética de los dos datos centrales.

En esta aplicación vamos a conocer un poco mejor la media aritmética y la mediana de un conjunto de datos y apreciar cómo influyen en estos parámetros los cambios que hagamos en los datos. Manejaremos una colección de 7 o de 10 valores numéricos, comprendidos entre 0 y 10. Los datos de la colección se representan por puntos amarillos. Podemos variar un dato desplazando horizontalmente el correspondiente punto amarillo, seleccionándolo con el ratón, manteniendo pulsado el botón izquierdo. Pulsando el botón reinicia se reinicia la aplicación, volviendo a los valores de partida.

Usa la aplicación y responde:

  1. Comprueba que los 7 datos de los que partes son 0,5; 1; 2,5; 3; 6; 7 y 9,4. ¿Cuál es el valor de la media? ¿Y el de la mediana? Multiplica ahora el valor de la media por el número de datos (7). ¿Qué significado tiene el valor que obtienes?

  2. Cambia ahora algunos valores, moviendo los puntos amarillos que consideres necesario, pero de modo que la media aritmética no varíe. Escribe la solución que obtienes. ¿Puedes encontrar otras soluciones? En caso afirmativo, encuentra dos o tres más. Aparte de la media aritmética, ¿qué tienen en común todas las distribuciones anteriores?

  3. Escribe ahora una colección de 7 datos, comprendidos entre 0 y 10, que tenga de media aritmética 6,5. Comprueba el resultado con la aplicación. ¿Cuál es el valor de la mediana?

  4. Pulsa el botón reinicia. Cambia ahora algunos valores, moviendo los puntos amarillos, de modo que la mediana no varíe. ¿Qué es lo que has de tener en cuenta para que la mediana no varíe?

  5. Pulsa el botón reinicia y activa la casilla 10 datos. Ahora estamos manejando una colección de 10 datos comprendidos entre 1 y 10. ¿Por qué ahora la mediana no coincide con ninguno de los puntos de la colección? Manteniendo 10 valores, ¿qué tendría que ocurrir para que la mediana fuera igual a alguno de los valores de la colección?

  6. Mueve ahora los puntos para representar la siguiente colección de datos: 4; 4,2; 4,8; 5,1; 5,5; 6; 6,4; 7; 7,3 y 7,8. ¿Cuánto vale su media aritmética? ¿Y su mediana?

  7. Cambia ahora el valor 4 por el 0. ¿Ha variado su media? ¿Y su mediana? Cambia además el valor 7,8 por 10. ¿Han variado la media y la mediana? ¿Afectan los cambios en los valores extremos a la mediana? ¿Y a la media aritmética? Haz algunos cambios más y comprueba tus conjeturas con la aplicación.

  8. Pulsa el botón reinicia y activa nuevamente la casilla 10 datos. ¿Podemos variar un único dato de modo que no cambie la media aritmética? ¿Y si cambiamos dos datos? Comprueba tus conjeturas con la aplicación y escribe las conclusiones a las que llegas.

  9. Vuelve otra vez a la situación inicial, pulsando el botón reinicia y activando nuevamente la casilla 10 datos. ¿Podemos variar un único dato de modo que no cambie la mediana? ¿Y si cambiamos dos datos? ¿Contestarías lo mismo si el número de datos fuera impar? Comprueba tus conjeturas con la aplicación y escribe las conclusiones a las que llegas.