La aplicación muestra una circunferencia y un triángulo equilátero, (n = 3), inscrito en la circunferencia. Modificando el valor de k desde el deslizador o desde los botones se muestra un conjunto de triángulos y circunferencias inscritos.

Inicialmente el radio de la circunferencia exterior es 5 unidades y el de la segunda circunferencia la mitad, 2,5 unidades en este caso. ¿Cuánto mide el radio de la tercera circunferencia que se obtiene al hacer k = 2? ¿y el de la cuarta, quinta,...? ¿Podrías determinar una fórmula que nos permita calcular el radio de la circunferencia que ocupa el décimo lugar, y el lugar 100, y en general el lugar n?

El lado del triángulo mayor mide L unidades, ¿cuánto mide el lado del segundo triángulo? ¿y el lado del triángulo que ocupa el lugar 20? Escribe la fórmula que dá el valor del lado del triángulo que ocupa un lugar cualquiera n.

Si el área del primer triángulo es A unidades cuadradas, ¿cuánto mide el área del segundo triángulo? ¿y el área del triángulo que ocupa el lugar 4? Escribe la fórmula que dá el valor del área del triángulo que ocupa un lugar cualquiera n.

Usa la aplicación y responde:

1. Selecciona ahora n = 4, aparece un cuadrado inscrito en la circunferencia. La razón entre los radios de la segunda circunferencia y de la primera ha variado, siendo ahora aproximadamente 0,71. ¿Cuánto mide en esta situación el radio de la tercera circunferencia? ¿y el radio de la que ocupa el décimo lugar?

2. Haz los mismos cálculos para n = 5, pentágonos inscritos, y para n = 6, hexágonos.

3. Selecciona ahora n = 5, aparece un pentágono inscrito en la circunferencia. La razón entre los radios de la segunda circunferencia y de la primera ha variado, siendo ahora aproximadamente 0,81. ¿Cuánto mide en esta situación el radio de la tercera circunferencia? ¿y el radio de la que ocupa el sexto lugar?

4. Haz los mismos cálculos para n = 6, hexágonos inscritos, y para n = 8, octógonos.

5. Observa cómo cambia la razón entre los radios al ir aumentando el número de lados n. Busca una explicación a este hecho. ¿Qué sucedería si el número de lados del polígono creciera indefinidamente?