Entre los muchos y valiosos descubrimientos del genial Arquímedes, cabe destacar el del cálculo del volumen de una esfera que llegó a demostrar de un modo muy original. Su relación con el volumen de un cilindro impresionó tanto al propio sabio de la antigua Grecia que pidió que en su tumba se grabase una esfera circunscrita en un cilindro.

En esta actividad se invita a la observación y también al "descubrimiento" de las relaciones entre los volúmenes de la esfera, el cilindro y el cono con idéntica anchura y altura.

La aplicación incluye varios botones que permiten cambiar la perspectiva (rotando) o la distancia de los distintos cuerpos geométricos, para facilitar su visualización en tres dimensiones. También el arrastre con el botón derecho del ratón permite personalizar la perspectiva de otro modo.

Usa la aplicación y responde:

1. Observa el cilindro y el cono iniciales. ¿Qué relación hay entre sus medidas (radio y altura)? Utiliza los deslizadores para modificarlas a tu gusto. Comprueba también el efecto de los tres botones más pequeños .

2. Pulsa el botón y observa los cambios. Describe lo que ha ocurrido ¿Qué relación hay entre el volumen de un cono y el del cilindro de igual radio y altura? ¿Cuál es la fórmula que se utiliza para cada caso?

3. Utiliza la fórmula para calcular el volumen de un cilindro de 4 cm de altura y bases de 3 cm de diámetro. Aprovecha la aplicación (activando Ver volúmenes) para comprobar el resultado.

4. Pulsa ahora el botón y observa. ¿Qué tres tipos de figuras se observan y cuál es la relación entre sus medidas? (Te ayudará a verlo activar la Ayuda y arrastrar con el botón derecho del ratón en la zona gráfica para cambiar la perspectiva).

5. Pulsa sobre . ¿Cuál es la relación entre el volumen de la esfera y el del cilindro? Deduce razonadamente la fórmula que sirve para calcular el volumen de una esfera a partir de la medida de su radio. Aplícala para calcular el volumen de una esfera de radio 10 cm. Aprovecha la aplicación para comprobar tu resultado.

6. Deduce la relación entre el volumen de una esfera y el del cilindro circunscrito. Deduce también la relación entre el volumen de una esfera y el del cubo circunscrito.

7. Utiliza la aplicación para estimar qué parte de la capacidad de una copa de forma cónica se ocupa cuando se llena hasta la mitad de su altura. Intenta justificar tu respuesta apoyándote en las matemáticas. ¿A qué altura deberá llegar el líquido en una copa cónica para que se ocupe la mitad de su capacidad?