Vamos a comenzar construyendo un triángulo rectángulo cuyos catetos deben medir una unidad. A continuación, por un extremo de la hipotenusa de este primer triángulo trazamos, perpendicularmente a la hipotenusa, un segmento de una unidad de longitud, creando, de ese modo, un nuevo triángulo rectángulo. Sobre la hipotenusa de este nuevo triángulo repetimos el proceso anterior y así sucesivamente.

De ese modo los triángulos rectángulos que vamos generando van dando forma a una curiosa espiral, denominada Espiral de Teodoro, que ha desempeñado un importante papel en los inicios de la teoría de los números irracionales.

Su creador, Teodoro de Cirene, basándose en el método tradicional pitagórico de reducción al absurdo, probó la irracionalidad de las raíces de los números enteros no cuadrados hasta el 17. En esta actividad vamos a descubrir la relación que tienen los números irracionales con esta espiral y aprovechar sus propiedades para la construcción de segmentos cuya longitud sea la raíz cuadrada de un número natural.

Para construir un segmento debes emplear la herramienta , haciendo clic sucesivamente sobre los dos puntos que serán sus extremos. A su vez, la herramienta te ayudará a construir la Espiral de Teodoro.

Una vez seleccionada la herramienta, haz clic sobre los dos extremos del segmento de partida: de ese modo se añade un segmento perpendicular de longitud 1 al segmento anterior, por el extremo señalado en segundo lugar, y se traza la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por ambos segmentos. Usa la herramienta para mostrar la longitud exacta de un segmento, haciendo clic sobre sus dos extremos.

Si te equivocas en algún momento, usa la herramienta  . Si quieres empezar de nuevo pulsa sobre el botón .

Usa la aplicación y responde:

1. Construye un segmento horizontal de longitud 1 a partir del punto señalado (tomando como unidad la separación entre las líneas de la cuadrícula, que es 1 cm). Selecciona ahora la herramienta y haz clic sobre los extremos del segmento anterior. ¿Cuánto mide el segmento que has construido? ¿Cómo lo has calculado? Comprueba tu resultado utilizando la herramienta .

2. Aplica nuevamente la herramienta  al último segmento que has construido en el ejercicio anterior. ¿Cuánto mide el segmento que acabas de construir? Compruébalo.

3. Continúa el proceso hasta que obtengas el segmento de longitud $\sqrt{15}$.

4. Si aplicas la herramienta a un segmento de 5 cm de longitud, ¿cuánto medirá el nuevo segmento? ¿Por qué? Constrúyelo ahora y comprueba tu resultado.

5. Utilizando propiedades aritméticas demuestra que $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Utiliza las herramientas geométricas de las que dispones para comprobar que el segmento $\sqrt { 8 }$  mide justamente el doble que el segmento $ \sqrt{2} $.

6. Comprueba geométricamente si $\sqrt{12}=2\sqrt {6} $ o más bien $\sqrt{12} =2\sqrt {3}$. Verifica aritméticamente tu resultado.

7. ¿Cuál de los segmentos de la espiral que has construido mide el doble que $\sqrt{5}$? Compruébalo aritméticamente y geométricamente.

8. ¿Cómo podríamos construir un segmento de longitud $\sqrt{50}$ cm, sin tener que seguir la espiral desde el principio? ¿Y un segmento de longitud $\sqrt{38}$  cm?