Una función f(x), es continua en el punto x=a si y solamente si $\underset { x\rightarrow a }{ lim } f(x)=f(a)$. En esta aplicación vamos a estudiar la continuidad de una función en un punto para lo cual hemos de verificar que se cumplen las tres condiciones siguientes:

• Existe f(a), es decir, la función esté definida en x=a,

• La función tiene límite finito en x=a, 

• El límite de la función coincide con el valor de la función en x=a.

En la parte superior de la ventana de la izquierda se muestran cuatro botones (inicialmente está seleccionado el botón ), cada uno de los cuales está asociado a una determinada función f(x), cuya expresión algebraica se muestra más abajo. En el caso del botón  aparecerá una casilla de entrada que nos permitirá escribir la expresión algebraica que se desee.

En la ventana derecha se muestra la gráfica de la función f(x). Sobre la misma se ha destacado un punto P, cuya abscisa x se puede mover libremente sobre el eje OX. En los ejercicios que se proponen se deberá mover el punto P lentamente y observar el comportamiento de la función al hacerlo: para controlar mejor el movimiento de P se puede seleccionar con el ratón la abscisa de P y, a continuación, utilizar las flechas de cursor, en lugar del ratón. En la ventana derecha se mostrarán los valores que van tomando x y f(x), respectivamente, al mover el punto P.

Los botones  y  permiten adaptar los límites de la ventana para poder observar más claramente el comportamiento de la función.

Usa la aplicación y responde:

1. Estudia la continuidad de la función en x=1. Mueve lentamente  el punto P hacia el origen de coordenadas, moviendo su abscisa hacia x=1. Observa los valores que va tomando la función conforme lo haces. Mueve ahora el punto P hacia x=−2 y vuelve a repetir el proceso anterior, acercando lentamente el punto P hasta x=1. ¿a qué valor se va aproximando la función? ¿Cuál es el límite de la función f(x) en  x=1? ¿Cuál es el valor de la función en dicho punto? ¿Se cumplen las condiciones para que f(x) sea continua en x=1? Comprueba tu resultado activando la casilla Comprobar la continuidad en, escribiendo previamente el valor 1 en la casilla de entrada.

2. Si la función f(x) no es continua en x=1, ¿qué tipo de discontinuidad presenta en dicho punto? ¿Cómo podríamos redefinir la función para evitar la discontinuidad en dicho punto?

3. Pulsa el botón . Sigue el mismo proceso de los tres apartados anteriores y estudia la continuidad de la función f(x) en  x=0. Comprueba tu resultado activando la casilla Comprobar la continuidad en, escribiendo previamente el valor 0 en la casilla de entrada. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en este punto?

4. Pulsa el botón  y repite el mismo proceso para estudiar la continuidad de la función en x=0. Comprueba tu resultado activando la casilla correspondiente. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en este punto?

5. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en x=1? ¿Por qué?

6. Pulsa el botón y estudia la continuidad y clasifica las discontinuidades de la siguiente función:

$$f(x)=\frac{2x+2}{x²+3x+2}$$

Escribe en la casilla de entrada: (2x+2)/(x²+3x+2)

7. Estudia la continuidad y clasifica las discontinuidades, en x=−2 y en x=2 de la siguiente función:

Escribe en la casilla de entrada: Si[x<-2, -3-x, x<=2, x+1, x>2, 3-x]

8. Estudia la continuidad y clasifica las discontinuidades, si se presentan, en x=0 y en x=2 de la siguiente función:

Escribe en la casilla de entrada: Si[x<0, 1/x, x<2, 2-x, x>2, x²-4]