Un espejo rectangular de 8 cm de base y 10 cm de altura se ha roto por una esquina, de modo que falta un pequeño trozo en forma de triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y 5 cm, respectivamente. Queremos aprovechar el trozo que nos ha quedado para construir un espejo rectangular de la mayor área posible. De modo que nuestro obtetivo será hallar las dimensiones del mayor espejo rectangular que podemos hacer con el trozo de espejo que nos ha quedado.

En la ventana izquierda se representa el espejo roto. Al mover el punto E sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo que nos falta, se van obteniendo rectángulos de diferentes dimensiones, cuya área se muestra en la parte inferior. En la parte derecha de la ventana se muestra un sistema de ejes cartesianos. En las abscisas están representadas las bases de los rectángulos que vamos obteniendo al mover E y en las ordenadas el área de dichos rectángulos. El punto P se corresponde con los valores respectivos de la base y el área del rectangulo que determina E.

Usa la aplicación y responde:

1. Mueve el punto E y observa el valor que va tomando el área de los rectángulos que vas generando. ¿Se obtiene siempre el mismo valor? Observa ahora la trayectoria que describe el punto P, representado en la parte derecha de la ventana, cuando mueves el punto E. ¿Cómo describirías la variación del área al mover el punto E? ¿Identificas la trayectoria que sigue P? ¿A qué modelo matemático se corresponde?

2. Mueve ahora lentamente el punto E y trata de encontrar, de manera aproximada, las dimensiones que se corresponden con el rectángulo de área máxima. Para ayudarte, construye previamente una tabla de valores con los datos que vas obteniendo:

2. Activa la casilla Función. ¿La función representada es la que esperabas? ¿Con qué punto de la función se corresponde la solución?

3. Activa la casilla Derivada. ¿Para qué valor de x se anula? ¿Qué tiene que ver este valor con la solución del problema?

4. Activa la casilla Solución y comprueba tu resultado.

5. Resuelve ahora analíticamente el problema. Si llamas x a la base del rectángulo que determina E, ¿cuál es la expresión algebraica del área de dicho rectángulo, en función de x? (PISTA: halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos C y D. El punto E es un punto de esta recta. Observa ahora que, al estar situado el origen de coordenadas en la esquina inferior izquierda del rectángulo, su área será el producto de las coordenadas de E)

6. Una vez obtenida la expresión algebraica del área, halla el valor máximo de dicha función, a partir de su función derivada.

7. Comprueba el resultado que obtienes con el obtenido anteriormente de manera aproximada.