Muchos problemas de optimización tienen como objetivo determinar las dimensiones óptimas de una figura para que se cumplan determinados requisitos. El problema siguiente es una muestra de ello:

Se quiere construir el marco de una ventana rectangular de 8 m². El metro lineal de tramos horizontales cuesta 2,50 euros, y el de tramos verticales 5 euros. Determina las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo y el precio de dicho marco.

Con el deslizador de la parte superior izquierda (o con los botones de aumentar y disminuir) puedes modificar la anchura de la ventana, que aparece representada bajo el mismo. Se muestra así mismo el precio del marco de la ventana que corresponde a las dimensiones fijadas con el deslizador. En la otra vista gráfica se representa el coste de la ventana en función de la anchura de la misma. Se muestra el punto que se corresponde con los valores fijados con el deslizador.

Usa la aplicación y responde:

1. Mueve el deslizador y observa cómo varía la forma de la ventana. Todas las ventanas tienen un área de 8 m² pero, ¿tienen todas el mismo perímetro? ¿Cómo varía el perímetro cuando cambiamos la anchura de la ventana?

2. Mueve el deslizador y observa ahora el punto representado en la otra vista gráfica. En el eje de abscisas se representa la anchura de la ventana y en el de ordenadas el coste del marco de la ventana. Se ha representado el punto cuya abscisa es el valor de la anchura fijada con el deslizador: observa su traza al mover el deslizador. ¿Cómo varía el coste del marco de la ventana cuando modificamos su anchura?

3. Trata de localizar ahora el valor de la anchura que hace mínimo el coste del marco. Ayúdate del cálculo que aparece bajo el dibujo de la ventana. ¿Qué dimensiones tiene la ventana que hace mínimo el coste? ¿Cuál es el precio del marco de la ventana que tiene esas dimensiones?

4. Pulsa ahora el botón . Describe la función representada, indicando sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos, si los hubiera. ¿A qué punto de la gráfica corresponden los valores que has hallado en el apartado anterior?

5. Halla la expresión algebraica de la función representada: ten en cuenta que x es la anchura de la ventana y la función es el coste de su marco.

6. Halla ahora la función derivada de la función que acabas de obtener. ¿Para qué valor o valores de x se anula? ¿Encuentras alguna relación con la solución de nuestro problema?

7. Pulsa ahora el botón . Observa la gráfica de la función derivada. ¿En qué punto corta al eje OX? ¿Qué relación tiene el punto de corte con el valor que estamos buscando?

8. Pulsa el botón  y comprueba tus resultados.