La forma de un diagrama de barras o de un histograma nos permite obtener, con bastante aproximación, la media aritmética y la desviación típica de la distribución representada. Si tenemos en cuenta que la media aritmética es el valor que resulta de compensar unos datos con otros, para conseguir que todos los datos sean iguales, desde un punto de vista gráfico, es razonable pensar que ha de conincidir con el "punto de equilibrio" del histograma o, en su caso, del diagrama de barras. Por ello una forma de estimar la media aritmética es localizar de manera aproximada el centro de gravedad de la gráfica: la media será su proyección sobre el eje horizontal.

En cuanto a la estimación de la desviación típica a partir de la gráfica, tendremos en cuenta que, en muchas ocasiones, poco más de dos tercios de los datos están contenidos en el intervalo comprendido entre la media menos la desviación típica y la media más la desviación típica. Por tanto, obtendremos una buena aproximación de la desviación típica evaluando la zona centrada en la media que recoja algo más de dos tercios de los datos o, de otro modo, la zona central que abarque algo más de dos tercios del "área" del histograma o diagrama de barras correspondiente.

En esta aplicación trataremos de encontrar la relación entre los valores de la media aritmética y de la desviación típica de una distribución y la forma del histograma que la representa. En todos los casos trabajaremos con la distribución formada por las notas de los 20 estudiantes de una clase en un examen de Matemáticas. Para modificar los datos representados en la gráfica sitúa el ratón sobre la base de una barra y, manteniendo pulsado el botón izquierdo, arrastra el ratón de una barra a otra. Observa que al hacerlo se modifican las alturas de las barras, así como sus valores en la tabla de frecuencias.

Usa la aplicación y responde:

1. Activa las casillas Mostrar la media aritmética y Mostrar la desviación típica. Cambia algunos datos del diagrama y observa el efecto que tienen los cambios que haces en los valores de la media aritmética y de la desviación típica.

2. Pulsa sobre el botón . Mueve los datos que consideres oportuno hasta conseguir que la media aritmética de la distribución sea 6. Cuando estés seguro de tu resultado, activa la casilla Mostrar la media aritmética para comprobarlo. 

3. Utiliza ahora tu calculadora para hallar el valor de la desviación típica de la distribución que has obtenido en el ejercicio anterior. Activa la casilla Mostrar la desviación típica y comprueba tu resultado.

4. ¿Puedes conseguir otras distribuciones diferentes que también tengan de media 6? Observa en cada caso la tabla de frecuencias, ¿qué es lo que se mantiene constante en todos los casos? ¿Tienen todas las distribuciones que has encontrado la misma desviación típica? Justifica tus respuestas y pon ejemplos aclaratorios.

5. Pulsa sobre el botón . ¿Puedes cambiar un solo dato de la distribución de modo que la media aritmética no varíe? En caso afirmativo pon algún ejemplo aclaratorio. En caso negativo, justifica tu respuesta.

6. Pulsa sobre el botón . Modifica solamente dos datos de la distribución de modo que la media aritmética no varíe. Explica cómo lo has hecho. ¿Qué ha ocurrido con la desviación típica? ¿También permanece constante? Comprueba tus resultados con la aplicación, activando las casillas Mostrar la media aritmética y Mostrar la desviación típica.

7. Si cambiamos solamente dos de los datos de la distribución, ¿cómo ha de hacerse la modificación para que la desviación típica disminuya? ¿Y para que aumente? Justifica tus respuestas y pon ejemplos aclaratorios.

8. Pulsa sobre el botón . Cambia los datos de modo que consigas una distribución de media 5 y que tenga la menor desviación típica posible. ¿Puedes conseguir que la desviación típica sea cero? ¿Qué distribución te ha resultado? Comprueba tus resultados con la aplicación.

9. Pulsa sobre el botón . Mueve ahora los datos de modo que consigas una distribución de media 5,5 y que tenga la mayor desviación típica posible. ¿Qué distribución te ha resultado? Comprueba tus resultados con la aplicación.

10. En los dos ejercicios anteriores habrás podido comprobar cómo iba cambiando la forma del gráfico a medida que modificabas los valores para que la desviación típica aumentase o disminuyese. ¿Encuentras alguna relación entre la forma de la gráfica y el valor de la desviación típica?

11. Pulsa sobre el botón y activa las casillas Mostrar la media aritmética y Mostrar la desviación típica. En muchas distribuciones estadísticas, algo más de las dos terceras partes de los datos están comprendidos en el intervalo comprendido entre la media menos la desviación típica y la media más la desviación típica. ¿Se verifica en este histograma? Mueve algunos datos y vuelve a hacer la comprobación. Repite algunos casos más. Escribe tus conclusiones.