En esta aplicación se muestra la nube de puntos que representa las calificaciones de 8 estudiantes en dos exámenes. Las calificaciones del primer examen se corresponden con las abscisas y las del segundo examen con las ordenadas. También se representa, en color rojo, el centro de gravedad de la distribución, cuyas coordenadas son las medias aritméticas de las dos variables que estamos estudiando. El objetivo de esta representación es estudiar si, como cabe esperar, las calificaciones que han obtenido los estudiantes en el segundo examen guardan relación con las que habían obtenido en el primero.

En la hoja de cálculo se muestran las calificaciones obtenidas por los 8 estudiantes en ambos exámenes, sus parámetros representativos, así como las diferencias entre cada calificación y su media, a partir de las cuales se ha calculado la covarianza, cuyo significado vamos a tratar de descubrir.

Usa la aplicación y responde:

1. Pulsa el botón . Observa que cada punto de la distribución es ahora el vértice de un rectángulo que también tiene como vértice el punto M, centro de gravedad de la distribución, estando ambos puntos unidos por una diagonal de dicho rectángulo. Fíjate en el rectángulo que tiene como vértice el punto A. ¿Cómo calcularías las medidas de sus lados, a partir de las coordenadas de A y de M? ¿Qué relación hay entre esas medidas y los valores D2 y E2 de la hoja de cálculo? ¿Qué relación encuentras entre el área de ese rectángulo y el valor F2 de la hoja de cálculo?

2. Analiza los demás rectángulos. Busca en la hoja de cálculo, en cada caso, qué valores son los que están relacionados con las medidas de sus lados y con su área.

3. Observa que algunos rectángulos están coloreados en rojo y otros en azul. ¿Qué criterio crees que se ha seguido para colorearlos? Mueve alguno de los puntos para poner a prueba tu conjetura. ¿Tiene algo que ver con el signo de los valores del rango F2:F9 de la hoja de cálculo?

4. Si movemos los puntos, ¿podremos conseguir que todos los rectángulos sean de color azul? ¿Y que todos sean de color rojo? Mueve los puntos como consideres oportuno para tratar de lograrlo y, si lo consigues, señala las características de tales distribuciones.

5. En la celda F11 de la hoja de cálculo se ha calculado la covarianza, media aritmética de los valores del rango F2:F9. ¿Qué relación tiene la covarianza con las áreas de los rectángulos representados?

6. Pulsa el botón . Mueve los puntos y observa cómo varía el valor de la covarianza. ¿Puedes conseguir que valga cero?

7. Sitúa los puntos de modo que queden alineados horizontalmente. ¿Cuánto vale la covarianza? ¿Por qué?

8. Sitúa ahora los puntos de modo que queden alineados verticalmente. ¿Cuánto vale la covarianza? ¿Por qué?

9. Sitúa ahora los puntos de modo que queden alineados oblicuamente. ¿Qué signo tiene la covarianza si la pendiente de la recta que definen los puntos es positiva? ¿Y si es negativa?