División de un polinomio por (x − a)

La ventana izquierda dispone de un conjunto de botones y deslizadores que te permiten introducir los coeficientes de un polinomio de grado menor o igual que 5. También colocamos el valor de a para dividir por x − a. En la presentación tenemos P(x) = x3 − x2 + 3x y el divisor es (x − 2). Más adelante puedes modificar los valores.

La aplicación divide P(x):(x − a) utilizando la regla de Ruffini: obtenemos el cociente, el resto de la división y también dos expresiones algebraicas, la que muestra la igualdad "Dividendo=Divisor·Cociente+Resto" y la que expresa la división como suma del cociente con el resto entre el divisor.

En la ventana derecha tenemos las gráficas de tres funciones:

  • y = P(x) el dividendo es una función polinómica en color morado.

  • y = x − a es una recta de pendiente 1 y corta al eje de ordenada en (0,a) en color verde y línea de puntos.

  • El cociente se ha representado con una curva de color rojo y de puntos. También es una función polinómica un grado inferior al dividendo.

En el ejemplo, la función y = P(x) = x3 − 3x2 + 2x corta al eje de abscisas en x = 2, esto quiere decir que P(2) = 0 y por tanto el resto de la división será cero. El polinomio cociente x2 + x sigue teniendo las otras dos raíces: x = 0 y x = −1 pero ya no tiene la raíz x = 2.

Usa la aplicación y responde:

  1. En el ejemplo, la función y = P(x) = x3 − 3x2 + 2x corta al eje de abscisas en x = 2, esto quiere decir que P(2) = 0 y por tanto el resto de la división P(x)/(x − a)será cero. El polinomio cociente x2 − x sigue teniendo las otras dos raíces: x = 0 y x= − 1 pero ya no tiene la raíz x = 2. Observa qué pasa si divides P(x) por x o por x − 1.

  2. Coloca los coeficientes para dividir P(x) = x3 − 4x2 + 5x + 2 entre x + 1. Verás que ahora no desaparece la raíz x = 1 en la gráfica de la función polinómica del cociente. Por el contrario, si dividimos por x + 2 sí desaparece la raíz. Encuentra una explicación.

  3. Coloca varios ejemplos para comprobar gráficamente que los valores de a que hacen que la división exacta son aquellos en los que tanto la función polinómica como la recta se anulan, es decir, P(a) = 0.