Hay muchas funciones polinómicas que cortan al eje de abscisas en x=1, la más sencilla es la recta P(x)=x-1.

Si queremos un polinomio que corte en x=1 y en x=3, podemos construir el polinomio P(x)=(x-1)(x-3). Si desarrollamos el producto obtendremos una expresión de segundo grado (x²-4x+3) cuya gráfica es una parábola que corta al eje de abscisas en dos puntos: x=1 y x=3.

De esta forma podemos conseguir una función polinómica que corte en los puntos que deseemos. Los valores como 1 y 3 que hacen que un polinomio se anule se llaman raíces del polinomio.

Con esta aplicación podrás construir funciones polinómicas que corten al eje de abscisas en un máximo de cinco puntos.

Con el deslizador indicamos la cantidad de raíces que tendrá el polinomio y desplegará u ocultará nuevos deslizadores como éste debajo de él con los que podrás colocar las raíces del polinomio.

El primero es a₀ (negro) solo toma valores 1 y -1 y multiplica al resto de factores del polinomio. El efecto sobre los coeficientes de la expresión polinómica será dejarlos como están cuando es igual a 1 o lo cambiarlos de signo si vale -1.

Los deslizadores con distintos colores empiezan con a₁ y te permiten colocar las raíces del polinomio hasta el grado que has indicado.

En la parte inferior de la ventana izquierda tienes dos expresiones para el polinomio: la primera como producto de factores y la segunda con los coeficientes de las potencias de x.

En la parte superior tienes dos botones: si Raíces enteras está activado, los deslizadores solo tomarán valores enteros entre -5 y 5. Si presionas sobre Raíces decimales, los botones aumentan o disminuyen 0.1. Haz algunas pruebas y observa el funcionamiento de la aplicación.

En la ventana derecha tienes la gráfica de la función polinómica y un punto A con el que puedes recorrer el eje de abscisas. Ese valor de x y P(x) determinan un punto sobre la curva. Comprueba con algunos ejemplos que el valor de la ordenada coincide con el que obtienes al sustituir la x en el polinomio tanto en su forma factorizada como en la expresada en forma de potencias.

Usa esta aplicación y responde:

1. Esta aplicación nos proporciona un método para resolver ecuaciones de cualquier grado del tipo P(x)=0 en la que intervenga un polinomio que se pueda descomponer en factores. La obtención de las soluciones de la ecuación se podrá realizar resolviendo varias ecuaciones más sencillas sin más que igualar a cero cada uno de los factores. Coloca algunos ejemplos y aplica esta forma de resolver ecuaciones.

2. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que se repite. Puedes hacer que una raíz tenga multiplicidad 2, 3 o más si la repites con los deslizadores desde a₁ hasta a₅. ¿Cómo relaciones la multiplicidad de una raíz con el hecho de que la gráfica atraviese el eje o solo lo toque tangencialmente en ese punto?

3. Introduce las raíces con los deslizadores para que su expresión polinómica solo tenga coeficientes en las potencias 3 y 4 de x.

4. ¿Será posible obtener un polinomio que solo tenga coeficientes de grados 0 y 2? ¿Y un polinomio que únicamente tenga coeficientes de grados 1 y 3? ¿Cómo es la grafica en cada uno de los dos casos?

5. Cuando cambias el valor del coeficiente a₀ es decir, cuando pasa de valer 1 a -1 (y al contrario, de -1 a 1). ¿Qué efectos produce en la expresión algebraica? ¿Qué ocurre en la gráfica?