La gráfica de una función ayuda a estudiar sus características globales. El interés puede estar centrado tanto en comportamientos locales como los puntos de corte con los ejes, como en la obtención de sus valores máximos o mínimos relativos, como en propiedades globales, como el estudio del crecimiento o de la curvatura de la función.

En esta aplicación se utilizan las herramientas que ofrece GeoGebra para el estudio y la representación gráfica de una función. En la primera ventana se muestra el estudio y representación gráfica de una función. Primero analizaremos el procedimiento seguido para conocer los comandos y técnicas empleados, para que puedas utilizarlo como modelo para realizar los ejercicios que se plantean más abajo.

En esta aplicación utilizaremos la vista de Cálculo Simbólico (CAS) y la vista gráfica de GeoGebra. En la primera se irán realizando los diferentes cálculos que conlleva el estudio de la función.  Observa que las líneas de esta vista CAS están numeradas. En cada una de ellas se muestra el cálculo que se plantea, seguido del resultado obtenido. Situando el cursor sobre el número de línea y pulsando sobre el botón derecho del ratón se abre un menú contextual que, entre otras cosas, nos permite insertar líneas o escribir un texto.

Para realizar los ejercicios que se proponen puedes utilizar la segunda ventana, que aparece en blanco, o bien abrir el programa GeoGebra, utilizando la disposición CAS.

Usa la aplicación y responde (1):

1. En la primera línea se ha introducido la función. Fíjate bien en un detalle: para la asignación de la función se utilizan los símbolos ":=" entre el nombre de la función, f(x), y su expresión algebraica. De ese modo, en las líneas siguientes para hacer cálculos con la función bastará escribir su nombre: f(x).

2. Observa la primera fase del estudio: el dominio y la continuidad. Se ha escrito el denominador de la función y se ha utilizado la herramienta de la barra de herramientas de la vista CAS para hallar los valores que lo anulan. ¿Qué significado tienen los dos valores que se obtienen? ¿Es continua la función en dichos puntos?

3. Calculamos a continuación f(−x). ¿Qué tipo de simetría tiene la función estudiada?  ¿Por qué no es periódica?

4. Observa cómo se han obtenido los puntos de corte con los ejes.

5. Fíjate ahora en el proceso seguido para hallar las asíntotas. Se han utilizado los comandos Límite, LímiteIzquierda y LímiteDerecha. Observa la sintaxis de cada uno de ellos. ¿Qué significado tienen los valores obtenidos en las líneas 14, 15, 16 y 17? ¿Y los obtenidos en las líneas 20 y 21?

6. Observa las líneas 19,  20 y 26: el círculo que aparece bajo el respectivo número de línea ahora es de color azul. Se ha conseguido pulsando sobre el círculo blanco que aparece inicialmente. Al hacerlo se muestran en la vista gráfica los respectivos resultados, en este caso las asíntotas. Representa en tu cuaderno las asíntotas obtenidas y sitúa la curva con respecto a las mismas, a partir de los valores que se han obtenido.

7. Analiza ahora en conjunto toda la información que hemos obtenido. Haz un esbozo de la gráfica de la función en tu cuaderno. Vuelve a la línea 1 de la vista CAS y pulsa sobre el círculo blanco que aparece bajo el número 1 para representar la función y compara la gráfica obtenida con la que has dibujado en tu cuaderno. Para ver más ampliamente la gráfica de la función, sitúa el cursor sobre la vista gráfica (basta con pulsar sobre cualquier punto libre de la misma) y utiliza las herramientas y que encuentras en el grupo de herramientas situado más a la derecha de la barra de herramientas.

Usa la aplicación y responde (2):

1. Sigue el mismo procedimiento anterior para hacer el estudio completo y la representación gráfica de las siguientes funciones:

1. $f(x)={ x }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }-9x+5$

2. $f(x)=\frac { 2x+4 }{ x-2 } $

3. $f(x)=\frac {-3}{x+2}$

2. Dada la función $f(x)={ x }^{ 3 }-2{ x }^{ 2 }-12x+9$

1. Halla los puntos de corte con los ejes.

2. Estudia el crecimiento de la función.

3. Halla los máximos y mínimos relativos.

4. Dibuja la gráfica de la función.

3. Dada la función $f(x)=\sqrt { { x }^{ 2 }+4 } $

1. Halla el dominio de f.

2. Halla los puntos de corte con los ejes.

3. Estudia el crecimiento de la función.

4. Halla los máximos y mínimos relativos de f.

5. Dibuja la gráfica de la función.