Muchas de estas figuras las podemos encontrar en los diseños nazaríes de la Alhambra de Granada y esta puede ser una nueva vía para enfocar la investigación, el conseguir baldosas que, por repetición a base de traslaciones, giros y simetrías, den lugar a mosaicos que recubran el plano.

La Alhambra es el palacio del cuadrado, lo encontramos de forma explícita en azulejos que recubren las paredes con combinaciones de colores que no nos dejan indiferentes. Otras veces los cuadrados quedan ocultos tras otras formas.

La solución del trapecio y sus cuatro giros de 90º alrededor de uno de sus vértices crea un interesante mosaico cuando utilizamos traslaciones de la baldosa según dos vectores situados en los lados del cuadrado. El mosaico tiene una característica interesante: los huecos que dejan las zonas sombreadas componen la misma figura que la forma dibujada.

   Mosaico

Si conseguimos que el diseño de la figura básica dependa de un punto y todo el mosaico se construye a partir de esa baldosa mediante isometrías, al cambiar más tarde la posición de ese punto, todo el mosaico se transformará con él. Aquí tenemos dos posiciones más del mismo mosaico. Recordemos ahora que en geometría dinámica podemos realizar una transformación progresiva de uno a otro mediante animaciones que en Cabri toman forma de un muelle que estiramos. La acción se desencadena al soltarlo.

La solución de los rombos aparece en el Patio de los Leones de la Alhambra utilizando traslaciones  o simetrías axiales cuyos ejes están sobre los lados del cuadrado:

En una de las columnas que rodean al patio de los leones encontramos un mosaico parecido al de la fotografía. A la derecha se reproduce la baldosa a partir del rectángulo que ocupa la mitad inferior del cuadrado, se le quitan dos triángulos en la parte inferior que colocamos en la superior. El movimiento elegido para pasar de una baldosa a otra es la simetría central respecto de los centros de los lados del cuadrado

Los triángulos desplazados toman diferentes formas con sólo variar la posición de un punto. Aquí también podemos comprobar las variaciones del mosaico.

También podemos reproducir a baldosa de las agujas con la mitad del cuadrado, después utilizaremos simetrías rotacionales en los centros de los lados del cuadrado para conseguir el mosaico.

La misma baldosa cuadrada utilizando dos movimientos distintos: simetrías (izquierda) y traslaciones (derecha)

Las estrellas que hemos encontrado anteriormente y que también encontramos en una de las primeras salas en la visita a los palacios nazaríes, con una orientación distinta ha podido ser reproducida con una de las soluciones de la mitad del cuadrado.

Otra forma de conseguir algunas de las figuras anteriores proviene de trazar una línea con centro de rotación de orden 4 en el centro del cuadrado y colorear dos regiones opuestas de las cuatro en que se ha dividido el cuadrado, la repetición de estas baldosas se hace por simetría axial:

De esta forma conseguimos la baldosa con forma de hoja:

Para acabar esta pequeña muestra intentamos obtener la baldosa de la Alhambra que tiene forma de hueso. La construiremos de dos formas: en primer lugar se diseña a partir de dos cuadrados opuestos a los que se les quita dos pequeños triángulos que se llevan al centro del cuadrado para conectar las dos regiones coloreadas, El mosaico se completa por traslaciones.

Por último trazamos una línea que tiene centro de rotación de orden cuatro con dos puntos móviles y con simetrías axiales respecto de los lados del cuadrado

Para más información sobre la construcción de mosaicos, se puede visitar los apartados 5, 6 y 7 dedicados a los Mosaicos interactivos y los calidoscopios en Matemáticas en el diseño de azulejos con GeoGebra.

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