4.3. El nombre del grupo cristalográfico.
Este apartado es más teórico que los otros. Se puede estudiar como paso previo al análisis de mosaicos, o bien realizar el trabajo práctico y volver a este punto más adelante, cuando se haya adquirido suficiente experiencia. Ir a la página siguiente
Como resumen de los apartados anteriores, podemos reseñar que hay cuatro isometrías: los movimientos en el plano que conservan las distancias. Dos de ellas mantienen la orientación: la traslación y la rotación. Las otras dos invierten la orientación: la simetría y la simetría con deslizamiento. En matemáticas se ha estudiado este tema desde la óptica de las estructuras, y se ha demostrado que hay exactamente 17 grupos llamados cristalográficos planos. Reciben ese nombre porque surgen del trabajo de científicos y geómetras como Fedorov, que a finales del siglo XIX estudiaban la estructura de los cristales.
La estructura de grupo hace necesarias unas condiciones que ya se apuntaron en el apartado 3.6:
• Que la composición de dos isometrías sea también una isometría del grupo (ley de composición interna). Esto en los movimientos se traduce en ideas del tipo “dos simetrías de ejes paralelos es igual a una traslación de vector perpendicular a los ejes de módulo igual al doble de la distancia que separa los ejes”.
• Que exista un movimiento Identidad -la traslación de vector nulo o el giro de 0º-.
• Que cada movimiento tenga inverso, es decir, que cada isometría se pueda deshacer con otra (una traslación con otra de vector igual pero de sentido contrario, una simetría axial con otra que tenga el mismo eje, etc.).
Este trabajo es útil para la catalogación de un mosaico, porque permite diferenciar bien unos mosaicos de otros y ofrece una información adicional, ya que la pertenencia de un mosaico a uno de los grupos nos garantiza el conocimiento de todos los detalles del mosaico y los de cualquier otro con las mismas características. Si queremos saberlo todo de un mosaico, basta con saber cómo es la baldosa mínima que lo genera por repetición y cuáles son los movimientos necesarios para componerlo.
Lo primero que se hace es determinar un paralelogramo, llamado primitivo,
que pueda generar el mosaico mediante dos vectores de traslación colocados sobre
sus lados (no confundir con la baldosa mínima que puede ser aún más pequeña al
poder utilizar isometrías distintas de la traslación). Con rectas paralelas a
los lados del paralelogramo se organiza una trama. De todos los paralelogramos
posibles, se toma aquel que tenga los vértices sobre centros de rotación de
orden máximo. Si no hay centros de rotación (orden 1), hacemos coincidir los
ejes de simetría con los lados o con las diagonales.
La notación establecida por la Unión Internacional de Cristalografía (Comité Español), también conocida como notación de Hermann-Mauguin, consta de cuatro símbolos ordenados:
• Símbolo 1. Es c (“centrado”) cuando el paralelogramo primitivo es un rombo que se puede enmarcar centrándolo en un rectángulo y p (“primitivo”) en cualquier otro caso. De los 17 grupos, sólo dos son centrados: cm y cmm.
• Símbolo 2. El mayor orden de rotación que podamos encontrar. Puede ser 1 (ángulo de 360º), 2 (ángulo de 180º), 3 (ángulo de 120º), 4 (ángulo de 90º) ó 6 (ángulo de 60º). Cuando un mosaico tiene un centro de rotación de un orden determinado, también tendrá otros centros de órdenes divisores.
• Símbolo 3. Corresponde al tipo de simetría y puede tener dos símbolos: m (“mirror” = espejo) simetría especular o axial y g (“glide” = deslizamiento), cuando tiene simetría con deslizamiento.
• Símbolo 4. La misma clasificación anterior, respecto a la presencia o no de un segundo tipo de ejes de simetría (m o g).
En el siguiente diagrama se expone un algoritmo para averiguar a cuál de los 17
grupos corresponde un mosaico. El nombre se encuentra en la penúltima columna en
color naranja. En muchas ocasiones se usa una abreviatura estándar de esta
cadena de símbolos, la vemos en la última columna en color amarillo. En esta
forma abreviada, una m o algunos dígitos no aparecen porque pueden deducirse sin
posibilidad de confusión con otro grupo. Es necesario advertir que los diseños
p31m y p3m1 son una excepción a esta notación. Para más información,
recomendamos una visita a la página de Wikipedia dedicada a los grupos
cristalográficos (en inglés)
http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group.
Se ha elegido un mosaico para ilustrar cada uno de los grupos cristalográficos.
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