Vamos a considerar los movimientos en el plano que podemos realizar a un cuadrado de forma que vuelve a coincidir consigo mismo:

• La identidad (I): dejarlo como está es un movimiento. Aunque no lo parezca, los matemáticos lo consideran como tal. Es un movimiento tan importante como lo son el cero para la suma y el uno para la el producto.
• Cuatro simetrías: de eje horizontal (SH), de eje vertical (SV) y las que tienen por ejes las dos diagonales (SD1 y SD2).
• Tres rotaciones: la de 90º (R90), la de media vuelta o simetría central (R180) y la de 270º (R270).

       Como vimos en el primer apartado, podemos componer dos movimientos y el resultado de esa composición es otro movimiento. En el caso de estos ocho movimientos del cuadrado, la composición de dos de ellos es también uno de esos ocho. Eso es lo que en matemáticas se llama una ley de composición interna.

       En el siguiente applet tenemos una prueba visual de esa ley interna. Con el deslizador verde podemos seleccionar el primer movimiento que veremos sobre el cuadrado de dos formas: en primer lugar por el cambio de colores de los vértices, además podemos ver dónde va a parar uno de los triángulos rectángulos resaltados en azul (1/8 del cuadrado).

       Una vez seleccionado el primer movimiento, tenemos un segundo deslizador en color azul para elegir el segundo movimiento que se realizará a partir de la posición que ha dejado el anterior. Para comprobar cuál es el resultante, basta con ver a cuál de los ocho se asemeja el cuadrado central.

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G4D, Creado con GeoGebra

       Ejemplos: R90 y R180 dan como resultado R270.  SV y SV dan I. SD y SH dan R180. Con SD1 y SD2 obtenemos R180.

       Con esto podemos completar una tabla como la siguiente en la que el primer movimiento es el que se coloca en la columna y el segundo movimiento en la fila:

       Se les llama grupos de Leonardo porque Leonardo Da Vinci los utilizó para añadir capillas y nichos al núcleo central de una iglesia sin alterar su simetría.

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